随着 GRPO 在后训练的不断应用和成熟，越来越多的任务都开始采用 RL 作为进一步提升效果的方案。但是对于那些缺乏明确标准答案的场景，除了人工标注外，还有没有其他比较高效、低成本的方案呢？

R1 之后出现了一种比较激进的方案：无验证 RL，模型不再依赖外部验证器，而是仅利用自身内部信号，如一致性、置信度或分布特征等来构造学习信号。

从最早的多数投票（TTRL、SRT），到基于熵与自确定性的强化学习，再到引入语义多样性与进化机制的最新方法，这个方向看似在不断取得进展，但其实这一类方法有个很严重的问题：“绝大多数内部反馈机制，本质上都在推动策略熵持续下降。”

这既解释了它们在训练初期或部分任务的有效性，同时也揭示了很多时候性能退化和探索崩塌的缘由。最新的工作从各个角度提出改进策略，如优势重塑、多样性奖励到进化式选择等等，但归根结底也都是在增加模型的探索能力，或者说平衡探索-利用。那么，对这种新的 RL 范式，你怎么看？

TL;DR

• TTRL / SRT、EM / RENT、Intuitor、EMPO 等方法都在显式或隐式地最小化策略熵。
• 内部反馈奖励几乎必然导致策略熵单调下降，最终引发探索不足与性能退化。
• ETTRL 通过高熵 token 分支 rollout 与基于熵的 advantage 重塑，缓解早期过度自信。
• Darling 将语义多样性显式并入奖励，增加探索。
• EVOL-RL 以“多数选择 + 新颖性变异”模拟进化过程，在稳定与探索之间取得更优平衡。
• RESTRAIN 利用全部 rollout 信号，对低一致性与过度自信样本进行系统性惩罚。

无验证

无验证/无监督也算是一种新的建模方式吧，RLIF，即 Reinforcement Learning from Internal Feedback，从模型内部获取反馈。比较早的工作是在 Reward Model建模 | 长琴^[11] 中介绍的 TTRL 250422^[1]。TTRL 有个问题，就是只能在某些特殊领域（比如数学）使用。

多数投票

SRT 250527^[2]，《Can Large Reasoning Models Self-Train?》和 TTRL 非常类似，不同的是，TTRL 是在同一组 prompts 上进行训练和测试。而 SFT 目标是利用这种简单的伪标签生成机制，来研究由 RL 驱动的自训练框架的有效性。

研究发现，生成标签的策略会随着梯度更新明显改进，比固定标签效果好。而且，课程学习能持续在更困难的任务上取得进展。不过，长时间训练可能会把模型引导到”完全忽略 prompt，输出同一个模板化的最终答案“的行为。

熵

在训练 RL 的时候，熵绝对是一个相当重要的东西，它的作用大概包括：

• 量化不确定性和引导探索的原则性度量。
• 熵奖励项需要对正则化系数进行精细调参，并且在直接应用于 LLM 时可能会导致训练不稳定。
• 作为塑造策略优势的信号，比如高熵 token 与探索性推理行为相关。

下面的几个方案都是基于熵的。

熵为目标

熵最小化 EM 250521^[3]，《The Unreasonable Effectiveness of Entropy Minimization in LLM Reasoning》基于一个关键假设和一个简单直觉：如果一个模型具备合理的能力，那么当它自信时，更有可能是正确的。文章基于熵最小化设计了三种后训练方法：

• EM-FT：直接最小化 token 级别熵，类似 SFT，但是在模型的输出响应上无监督进行。
• EM-RL：以负轨迹级熵或负 token 级熵作为唯一奖励进行强化学习。
• EM-INF：在推理阶段，通过 token 级估计调整 logit 来降低熵，无需任何训练数据或参数更新。

我们这里只关注 EM-FT。思想也很简单，直接最小化采样轨迹的熵，给定一个 batch（N个）采样轨迹，最小化 token 级别熵。

$$\hat{\mathcal{H}}_{\mathrm{tok}}\left(\pi_\theta\right)=\frac{1}{N} \sum_{i=1}^N \sum_{t=1}^{\left|\boldsymbol{y}^i\right|} \mathcal{H}\left(\pi_\theta\left(\cdot \mid \boldsymbol{y}_{\lt t}^i\right)\right) \tag{1}$$

其中，

$$\mathcal{H}\left(\pi_\theta\left(\cdot \mid \boldsymbol{y}_{\lt t}\right)\right)=-\sum_{j \in \mathcal{V}} \pi_\theta\left(j \mid \boldsymbol{y}_{\lt t}\right) \log \pi_\theta\left(j \mid \boldsymbol{y}_{\lt t}\right) \tag{2}$$

当然，还有一个轨迹级别的熵，如下：

$$\hat{\mathcal{H}}_{\mathrm{traj}}\left(\pi_\theta\right)=-\frac{1}{N} \sum_{i=1}^N \log \pi_{\theta} (\boldsymbol{y}^i)=-\frac{1}{N} \sum_{i=1}^N \sum_{t=1}^{\left|\boldsymbol{y}^i\right|} \log \pi_{\theta} (y_t^i \mid \boldsymbol{y}^i_{\lt t}) \tag{3}$$

注意，和 token 级别不同的是，由于无法枚举所有 y，这里是用平均值代替期望值。这个会被用在 EM-RL 的实验中。

虽然轨迹级和 token 级两种估计器都都可用于计算熵，但在训练中会导致不同的行为。最小化轨迹熵会使策略在“整条轨迹”层面具有更低的熵；而最小化 token 级熵则会使策略在“每一步生成时”都具有较低的熵。

最终结果显示，EM（整体）在模型置信度与正确性高度相关时最为有效，不过对于诸如对齐人类价值观等任务，仅靠置信度并不能可靠地反映输出质量，EM 就不太适用。另外，EM 的有效性依赖于一个关键假设：预训练模型本身已在目标任务上具备一定能力。

熵为推理时目标

看标题就知道啦，这里说的是前面的 EM-INF。讲真的，EM 这篇文章还不错。

EM-INF 的出发点其实也可以理解成：TTRL 并不一定总能得到多数投票的轨迹，而且推理时需要是无监督的。EM-INF 将模型的输出 logits 视为“可优化参数”，并使用梯度下降来更新它们，以最小化这些 logits 所诱导的分布的熵；整个过程不需要对模型参数求梯度、也不需要更新模型参数。

具体来说，zt 是模型在第 t 步最后一层产生的 logit 向量，冻结模型参数，通过梯度下降直接优化这些 logits，以最小化它们所诱导的输出分布的熵。这里只是将 logits 视为可自由优化的参数。为了防止过度优化（否则会退化为贪心解码），还引入最小熵阈值 δ（实验证明 0.1 < δ < 0.5效果最佳）。

对每一步推理，目标定义为：

$$\mathcal{L}_{\text{EM-INF}} = \max ( -\sum_{j \in V} \sigma(z_t)_j \log \sigma(z_t)_j, \delta) \tag{4}$$

σ 是 softmax。优化完 logits 后，采样下个 token，因为这种优化不会改变 logit 最大的那个 token，贪心解码结果也不会变化。它本质上等价于对一个拥有 V 个参数、使用 softmax 激活的一层神经网络进行优化。

实验表明，5 到 15 步梯度更新就足够，由于词表大小远小于模型参数，这样的更新在一次前向传播中几乎可以忽略。简单点来说，这个操作就是想让 logits 分布变得更“尖锐”，是“logits 后处理”。

最后说一下，为什么这种优化不会改变 logit 最大的那个 token。有如下命题：tempreture 和 logit 优化都会降低模型输出分布的熵，让高概率 token 概率进一步增加。不过，在高不确定性情况下（即模型预测分布熵较高时），logit 优化可能会改变非顶部 logits 的顺序。相比之下，tempreture 则会保留所有 logits 的顺序，仅按比例使分布变得更尖锐或更平坦。证明见附录A。

熵为奖励

RENT 250528^[4]，《Maximizing Confidence Alone Improves Reasoning》利用模型自身的置信度作为奖励来提升推理性能。具体而言，将奖励定义为模型预测的 token 分布的负熵。该信号稠密、通用且易于计算，不需要真实答案。

它的出发点我觉得很有意思，如下：

1

想象一下你正在参加一场考试。一旦考试开始，就无法获取新的信息，也不能寻求外部帮助。在只能依赖自身推理的情况下，你会如何解决一道难题？你可能会先尝试一个初步答案，评估自己对答案的置信度，并反复修正推理，直到觉得足够确定。当然，置信度并不能保证答案正确——但在没有反馈的情况下，它往往是指导进一步思考的唯一内在信号。在这种情境下，人类倾向于优化置信度，或者等价地，减少不确定性。

另外，实证分析发现，对推理链末端的 token（尤其是最终答案对应的 token）最小化熵，与准确率提升的相关性最强。相比之下，响应开头的 token 几乎没有相关性。说明当模型接近最终答案时，它越来越依赖自身的置信度来指导推理，因此鼓励模型在这些最终步骤中保持高置信度，是提升整体性能的关键。

熵定义如下：

$$H(p_t) = - \sum_{v \in V} p_t(v) \log p_t(v) \tag{5}$$

其中，

$$p_t(v) = P(y_t=v \mid x, y_{\lt t}) \tag{6}$$

奖励为：

$$\mathcal{R}\left(y_{\text {pred }}\right)=-H(\pi(x))=\frac{1}{T} \sum_{t=1}^T \sum_{v \in \mathcal{V}} p_t(v) \log p_t(v) \tag{7}$$

其实就是整个 rollout 所有 token 负平均熵。该奖励鼓励模型在词汇表上生成更加自信且分布更集中的输出，降低预测的不确定性。

总的来看，就是把熵作为奖励信号，非常简洁直白的设计。这和前面提到的 EM 250521^[3] 中的 EM-RL 几乎一模一样。EM-RL 以负轨迹级熵或负 token 级熵作为唯一奖励进行强化学习。我们来看一下 EM-RL 具体怎么做的。

首先看序列级别，它利用了式（3），这种估计方式偏好高概率轨迹，在某些场景中比较有用，比如较短的数学任务，需要探索一些可行的解法，但又不希望解法数量过多，此时“多个但有限”的思维链更为理想。Reward 如下：

$$r_{taj}(y) = \sum_{t=1}^{|y|} \log \pi_{\theta}(y_t | y_{\lt t}) = \log \pi_{\theta}(y) \tag{8}$$

这是自回归链式法则恒等式。

Token 级别则利用了式（1），这种估计方式偏好在每一步生成时都更加确定和自信的轨迹，使模型将概率质量集中在更少的推理路径上。Reward 如下：

$$r_{tok}(y) = -\sum_{t=1}^{|y|} \mathcal{H}(\pi_{\theta}(\cdot | y_{\lt t})) \tag{9}$$

把 H 也带进去就是：

$$r_{tok}(y) = \sum_{t=1}^{|y|} \sum_{j \in \mathcal{V}} \pi_\theta\left(j \mid \boldsymbol{y}_{\lt t}\right) \log \pi_\theta\left(j \mid \boldsymbol{y}_{\lt t}\right) \tag{10}$$

注意看，这个式子其实和式（7）是等价的，只不过少了个平均。

虽然 EM-RL 与 EM-FT 的目标都是最小化策略的熵，但它们的优化方式不同。EM-FT 通过直接对熵求导来最小化熵，而 EM-RL 则使用策略梯度方法。实验发现，EM-RL 能在大型数据集上收敛，并在数学推理与代码生成任务上提升模型性能。

语义熵为奖励

EMPO 250408^[5]，《Right Question is Already Half the Answer: Fully Unsupervised LLM Reasoning Incentivization》并没有直接把熵作为奖励，而是在潜在语义空间中不断最小化 LLM 对未标注问题的预测熵。

具体来说，也是先进行采样，然后把一组输出结果根据「语义」进行聚类，也就是把输出聚合成不同的簇。这一步可以通过 N-gram、正则表达式等预定义规则或额外的小 LLM 在可接受的计算成本内完成。说实话，这一步按字面量的 N-gram、正则这种恐怕还真不太行，可能仅适用于少部分任务。总的来说，重点是「聚类」，而非如何聚类。

聚类完后，不同类（语义空间）的概率可近似等于对应簇中采样答案的比例：

$$p(c_j|x) \approx |c_j| / G \tag{11}$$

其中，cj 是第 j 个语义类，|cj| 是类 cj 包含的输出数量。

给定输入 q，模型输出含义分布的语义熵为，

$$H = -\sum_{c_j \in \{c\}} p(c_j|q) \log p(c_j|q) \tag{12}$$

看起来是想让模型输出属于高概率语义簇的答案（最小化 H，最大化 p），这个 p 就是算法的奖励。这个看起来稍微保留了一些多样性，因为簇内输出一般不会一模一样。

为了应对 reward hacking 问题（比如，模型可能利用奖励信号，通过对最常见的语义簇给出高置信度但错误的预测来过拟合，而不经过真正的推理过程），使用了一种简单的熵阈值策略：通过双重阈值标准将优化限制在表现出中度不确定性的输入提示上。

最终目标函数为，

Advantage 的计算就是 GRPO 的做法。注意，目标函数里只有 A（也就是 r）没有 H，H 只是用来过滤的，对不在范围内的簇，嗯，直接扔掉了。

自确定性

Intuitor 250526^[6]，《Learning to Reason without External Rewards》，以自确定性作为奖励信号。那具体怎么确定这个自确定性呢？本文使用的是：模型输出分布与均匀分布之间的平均 KL 散度。这源自一个观察：LLM 在遇到不熟悉任务或缺乏足够知识时，常表现出较低的信心。相反，更高的置信度通常与正确性相关。

定义如下：

$$\text { Self-certainty }(o \mid q):=\frac{1}{|o|} \sum_{i=1}^{|o|} \mathrm{KL}\left(U \| p_{\pi_\theta}\left(\cdot \mid q, o_{\lt i}\right)\right)=-\frac{1}{|o| \cdot|\mathcal{V}|} \sum_{i=1}^{|o|} \sum_{j=1}^{|\mathcal{V}|} \log \left(|\mathcal{V}| \cdot p_{\pi_\theta}\left(j \mid q, o_{\lt i}\right)\right) \tag{13}$$

这就是 r，剩下的就和 GRPO 一样了。

相比于基于困惑度或熵的度量方法而言，自确定性对“更长文本偏好”这种常见偏差不那么敏感。Scalable Best-of-N Selection for Large Language Models via Self-Certainty^[12] 证明自确定性在从多个候选答案中选择高质量回答时十分有效，而且在各种置信度指标中，它是唯一一个在候选数量增多时效用反而提升的指标。

无验证的问题

250620^[13]，《No Free Lunch: Rethinking Internal Feedback for LLM Reasoning》发现，无论熵还是自确定性，其实内部都是等价的，它们都优化了相同的底层目标：策略熵，而这也是它们共同的问题：熵太低，模型输出分布逐渐趋向确定性，导致策略探索不足。

《The Entropy Mechanism of Reinforcement Learning for Reasoning Language Models^[14]》这篇文章给出了一个等式：

$$R = -\alpha \exp(H) + b \tag{14}$$

R 是模型表现，H 是熵。

定理1：对表格型 softmax 策略（状态空间有限，用表格表示），相邻两步之间的策略熵差满足：

$$H\left(\pi_\theta^{k+1}\right)-H\left(\pi_\theta^k\right) \approx-\mathbb{E}_{s \sim d_\mu^{\pi^k}} \operatorname{Cov}_{a \sim \pi_\theta^k(\cdot \mid s)}\left(\log \pi_\theta^k(a \mid s), \theta_{s, a}^{k+1}-\theta_{s, a}^k\right) \tag{15}$$

定理2：基于自然策略梯度（Natural Policy Gradient）的表格型 softmax 策略的参数更新公式：

$$\theta_{s,a}^{k+1} - \theta_{s,a}^{k} = \eta A^{\pi}(s,a) \tag{16}$$

来自文章《RL策略熵在迭代中是如何收敛的 - 知乎^[15]》和《On the Theory of Policy Gradient Methods: Optimality, Approximation, and Distribution Shift^[16]》。

于是，有三个命题：

命题1：token 级别熵作为奖励时，最大化该奖励等价于最小化熵。如式（9）所示，一目了然。

命题2：自确定性奖励导致策略熵下降。

根据前面自确定性的定义，我们知道：

$$\mathrm{KL}\left(U \| \pi_\theta \left(\cdot \mid x\right)\right)=-\frac{1}{|V|} \sum_{y \in V} \log \left(|V| \cdot\pi_\theta\left(y \mid x\right)\right) \tag{17}$$

对其求导，有：

$$\begin{aligned} \frac{\partial D_{\mathrm{KL}}\left(U \| \pi_\theta(\cdot \mid x)\right)}{\partial \theta_{x, y^{\prime}}} =-\sum_y \frac{1}{|V|} \frac{\partial \log \pi_\theta(y \mid x)}{\partial \theta_{x, y^{\prime}}} \end{aligned} \tag{18}$$

根据 softmax 导数（附录B），可得导数为：

$$\begin{aligned} -\sum_y \frac{1}{|V|} \left[ \delta_{y y^{\prime}} - \pi_\theta(y^{\prime} \mid x) \right] &= -\frac{1}{|V|} \sum_y \mathrm{1}_{\{y = y^{\prime}\}} + \frac{1}{|V|} \sum_y \pi_\theta(y^{\prime} \mid x) \\ &= -\frac{1}{|V|} + \pi_\theta(y^{\prime} \mid x) \end{aligned} \tag{19}$$

δ 为 Kronecker delta（y==y’ 为 1，否则为 0）。

假设 η 为学习率，根据式（15）有，

$$\begin{aligned} H\left(\pi_\theta^{k+1} \mid x\right)-H\left(\pi_\theta^k \mid x\right) & \approx-\eta \cdot \operatorname{Cov}_{y \sim \pi_\theta^k(\cdot \mid x)}\left(\log \pi_\theta^k(y \mid x),-\frac{1}{|\mathcal{Y}|}+\pi_\theta^k(y \mid x)\right) \\ & =-\eta \cdot \operatorname{Cov}_{y \sim \pi_\theta^k(\cdot \mid x)}\left(\log \pi_\theta^k(y \mid x), \pi_\theta^k(y \mid x)\right) \end{aligned} \tag{20}$$

根据熵的定义（H=E(H)）有，

$$\begin{aligned} H\left(\pi_\theta^{k+1}\right)-H\left(\pi_\theta^k\right) &\approx \mathbb{E}_{x \sim d_\mu^{\pi^k}}\left[H\left(\pi_\theta^{k+1} \mid x\right)-H\left(\pi_\theta^k \mid x\right)\right] \\ &\approx -\eta \mathbb{E}_{x \sim d_\mu^{\pi^k}}\left[ \operatorname{Cov}_{y \sim \pi_\theta^k(\cdot \mid x)}\left(\log \pi_\theta^k(y \mid x), \pi_\theta^k(y \mid x)\right) \right] \end{aligned} \tag{21}$$

因为 logπ 随 π 增加而增加，因此上式熵的差 ΔH≤0。所以，更新过程会导致策略熵降低。

命题3：表格型 softmax 策略，自然梯度更新（附录D），序列级别熵作为奖励会导致策略熵下降。

根据定理1和2，

$$\mathcal{H}\left(\pi_\theta^{k+1} \mid x\right)-\mathcal{H}\left(\pi_\theta^k \mid x\right) \approx-\eta \cdot \operatorname{Cov}_{y \sim \pi_\theta^k(\cdot \mid x)}\left(\log \pi_\theta^k(y \mid x), A(x, y)\right) \tag{22}$$

奖励 r(x,y) 仅依赖当前上下文 x 和生成序列 y，优势函数 A(x, y) 本质上等价于奖励（在常数基线偏移下，即只相差一个与 y 无关的常数项），引入 Advantage 并不会改变“优化目标的本质”，只是降低方差、稳定训练。

$$r_{\text {traj-entropy }}(x, y)=\frac{1}{|y|} \log \pi_\theta(y \mid x) \tag{23}$$

奖励与 logπ 强正相关，从而使协方差项为正。因此，每次更新都会导致策略熵下降。

实验结果表明，RLIF 在训练初期能提升性能，随着训练的进行，性能甚至低于训练前的模型。此外，RLIF 对 Instruct 模型几乎没有显著提升，表明一旦 LLM 经过指令调优，其内在反馈的收益递减。

最后，文章还给出两个论断：

• 同一模型家族中，初始策略熵较高的模型（如 Base 模型）可以通过 RLIF 得到提升性能。相反，RLIF 无法带来改进。
• RLIF 会持续减少过渡词的出现频率。其性能提升源于缓解模型的“信心不足”，而性能下降则源于模型“过度自信”。

其实，这个问题是比较直观和容易理解的，因为只能依靠内部信号，模型自然会倾向于在”确定的问题上更确定，不确定的问题上更不确定“。学习过程中奖励信号的质量一路下降，多样性越来越差，最终走向低熵崩塌。这些观点来自也可以在 EVOL-RL 251001^[17] 中看到。

优化方案

熵调整优势

ETTRL 250815^[7]，《ETTRL: Balancing Exploration and Exploitation in LLM Test-Time Reinforcement Learning Via Entropy Mechanism》瞄准了 TTRL 的问题：并行 rollout 带来的高推理成本，以及早期估计偏差导致的过度自信——会降低输出多样性并使性能进入平台期。提出基于熵的机制，通过两种策略：Entropy-fork Tree Majority Rollout (ETMR) 和 Entropy-based Advantage Reshaping (EAR)——增强探索与利用平衡。

ETMR

针对高开销和探索不足的问题，一种树状 rollout 策略，仅在熵值最高的 K 个 token 处进行选择性分支。基于两点：

• 许多 rollout 含有大量冗余 token。
• 推理中的输出多样性主要受到高熵 token 的影响——这些 token 通常是连接词或过渡词。

借鉴 TreeRL 树形 rollout 方法，复用低熵 token，对高熵 token 选择 top-K 候选来生成多个采样分支。算法过程如下：

EAR

训练初期，多数投票比例通常极低，这意味着只有很小一部分样本能够获得正奖励。此时，模型可能会对错误答案赋予过高的置信度，从而导致所谓的早期“过度自信”。为缓解早期估计偏差问题并维持探索，通过在优势计算中加入响应级别的相对熵奖励项来重塑优势函数。

具体来说，采用 Adv-Clip 作为主要的正则化策略。它的核心思想简单而高效：将 advantage 的取值限制在预设范围内，从而在训练早期直接抑制过大的梯度更新。

$$\hat{A}_{i,t}^{clip} = \text{clip} (\hat{A}_{i,t}, -\beta, +\beta) \tag{24}$$

裁剪有效缓解了过度自信的问题，但它并未利用每个响应的可靠性等更细粒度的信息。为了进一步优化 advantage 的估计，提出一种基于熵的机制 Adv-Res 作为补充策略：

$$\hat{A}_{i,t}^{res} = Y_i * \hat{A}_{i,t} \tag{25}$$

其中，

$$Y_i = 1 + (\text{avg} (H_{resp}(o_i)) - H_{resp}(o_i)) / \text{avg} (H_{resp}(o_i)) \tag{26}$$

avg 就是对组内所有 rollout 的熵求平均，而每个 rollout 的熵等于所有 token 的熵平均。Adv-Res 利用响应熵来评估相对置信度：熵高于平均值的响应被视为不确定，其优势值会被下调；而低熵响应则会得到略微增强的梯度更新。

总的来看，ETTRL 主要是针对 TTRL 早期估计偏差问题，毕竟是无监督，没有奖励信号，于是调低熵高于平均值响应的优势。相当有针对性的优化。

多样性探索

Darling 250902^[8]，《Jointly Reinforcing Diversity and Quality in Language Model Generations》也关注语义多样性，它引入了一个学习得到的分区函数，用于衡量超越表层词汇差异的多样性。

多样性被定义为一个回答与其他回答的平均成对距离：

$$\operatorname{Div}_d\left(y_i \mid y_1, \cdots, y_n\right)=\frac{1}{n-1} \sum_{\substack{j=1 \\ j \neq i}}^n d\left(y_i, y_j\right) \tag{27}$$

这里训练了一个二分类器，用于判断两条回答语义是否等价（分类结果就是 d）。被预测为语义等价的回答会被聚类，从而将所有回答划分为若干语义簇，其中同一簇内的多个成员除了一个代表之外几乎不提供额外价值。感觉和 EMPO 250408^[5] 有点类似。

奖励被定义为：

$$r_{\text {darling }}\left(x, y_i \mid y_1, \cdots, y_n\right):=r\left(x, y_i\right) \times \operatorname{Norm}\left(\operatorname{Div}_d\left(y_i \mid y_1, \cdots, y_n\right)\right) \tag{28}$$

Norm 表示归一化到 0-1。

文章做了相加和相乘的消融，单纯相加可能导致模型偏向优先优化其中一个奖励。相乘放大了与其他回答语义差异较大且奖励高的回答的有效奖励。

此外，序列级损失平均改为 token 级平均，因为前者对较长序列存在偏差；并去除 Advantage 的标准差归一化，因为该操作会放大密集奖励中的噪声。这些操作都来自 DrGRPO^[18]。

虽然 Darling 并不专门针对无监督 RL，但其本身是兼容不同设置的，而且也很简单。

新颖性

EVOL-RL 250918^[9]，《Evolving Language Models without Labels: Majority Drives Selection, Novelty Promotes Variation》解决的是自我确认信号（例如置信度、熵或一致性）作为奖励导致模型过于自信、熵崩塌的问题。将多数投票的答案保留作为稳定性的锚点，同时引入一个新颖性感知奖励，根据每个采样解的推理与其他同时生成的回答的差异程度进行评分。这是“多数票保障稳定性 + 新颖性促进探索”策略，对应了变异–选择原则：选择防止偏移，而新颖性防止崩塌。

所以，这里的重点是怎么设计新颖性感知奖励。一个关键的设计选择是，该奖励策略性地应用于所有解——无论是与多数答案一致的，还是不一致的。

• 对于与多数一致的解，奖励新颖性鼓励模型发现通向正确答案的多条有效推理路径，从而直接抵消 pass@n 性能下降。
• 对于少数解，奖励新颖性对于逃离局部最优至关重要。

这种整合改变了学习过程：它不仅缓解了当前任务中的多样性崩塌，还与持续学习的目标保持一致。

奖励设计：

• 多数（选择）奖励：一个回答的答案是否与有效回答中的多数投票答案一致，得分（yi）为 1 或 -1。
• 新颖（变异）奖励：计算每个回答推理部分的 Embedding，构建余弦相似度矩阵。
  • 对于每个回答，计算它与同组其他回答（即多数组或少数组）的平均相似度 s ̄i，以及它与整个批次中任意其他回答的最大相似度 mi。
  • 平均相似度是按组内计算的，因为多数解与少数解在语义上通常相距较远；若采用全局平均，会被这一差距主导，从而掩盖多数组内部同伴解之间更细粒度的差异。

新颖奖励公式：

$$u_i = 1 - (\alpha \bar{s_i} + (1-\alpha)m_i) \tag{29}$$

α 默认值为 0.5。要想奖励高，则组内平均相似度要小（新颖），同时与其他回答的最大相似度也要小（不和非本组的相似）。它惩罚两种不同形式的冗余：较高的 si 表示与组的语义平均值趋同，而较高的 mi 则表示与某个特定回答近乎重复。该分数同时促进局部和全局的多样性。

将多数标签和归一化的新颖性分数映射到不重叠的奖励区间，得到最终奖励形式为：

$$r_i= \begin{cases}-1, & \text { if invalid; } \\ 0.5+0.5 \tilde{u}_i \in[0.5,1], & \text { if } y_i=+1 \text { (Majority: higher novelty earns higher reward) } ; \\ -1+0.5 \tilde{u}_i \in[-1,-0.5], & \text { if } y_i=-1 \text { (Minority: higher novelty mitigates penalty) } .\end{cases} \tag{30}$$

另外，对 GRPO 使用非对称 clip（来自 DAPO^[19]）进一步增加探索。

同时，添加 token 级别的熵正则项，在初始生成过程中维持多样性。

$$\mathcal{L}_{\mathrm{ent}}(\theta)=-\lambda_{\mathrm{ent}} \mathbb{E}_{o \sim \pi_\theta}\left[\frac{1}{|o|} \sum_{t=1}^{|o|} H\left(\pi_\theta\left(\cdot \mid o_{\lt t}, x\right)\right)\right], \quad H(p)=-\sum_v p(v) \log p(v) \tag{31}$$

最终的损失为 Lgrpo + Lent。

EVOL-RL 模拟生物进化，平衡了稳定的选择压力与动态的变异机制。多数选择为正确性提供了关键锚点，三部分变异策略创造了稳健的探索动态。

• 熵正则项类似于更高的“突变率”，确保系统始终拥有多样化的解可用。
• 新颖性奖励为这一变异提供方向性压力，为语义上与同伴不同的解提供“生存加成”。
• 非对称 clip 确保当出现高度有益的“突变”——即稀有、新颖且正确的解——时，其强烈的学习信号能够被完整保留至下一代。

总的来看，EVOL-RL 是相当不错的无监督 RL 解决方案，新颖性机制的设计是点睛之笔。

利用所有rollout

RESTRAIN 251002^[10]，《RESTRAIN: From Spurious Votes to Signals – Self-Driven RL with Self-Penalization》主要针对难以标注的任务，模型必须具备在无直接监督下自我改进的能力，因此经验驱动学习是下一个方向。RESTRAIN（自约束强化学习）不过度依赖虚假的多数投票，而是利用模型整个答案分布中的信号：惩罚过于自信的 rollout 和低一致性样本，同时保留那些有潜力的推理链。

这里的关键问题是，在没有标注数据的情况下，模型如何生成自身的学习信号。常见的方法有:

• 自奖励：模型根据自身判断对 rollout 排序或评分。缺乏充分证据表明能够稳定提升复杂推理任务性能。
• 利用模型的内部一致性。比如 TTRL，不过存在可靠性与稳定性问题，可能导致模型训练崩溃：多次尝试经常生成自一致性低或置信度低的回答；或者在挑战性的推理任务中，多数投票得到的答案本身可能系统性错误，少数 rollout 反而可能包含正确解答。

关键挑战不仅在于生成自我衍生的奖励，更在于确保这些奖励能够提供稳健的信号。RESTRAIN，

• 利用了所有 rollout，而不只是多数投票的。
• 对低置信度的 rollout 施加负优势惩罚。
• 对多数投票脆弱、内部一致性较低的 prompt 进行降权处理。

如图所示：

Pseudo-label weighting：伪标签加权机制

为了解决多数投票往往可能虚假的问题，具体做法是：根据观测到的投票数量按比例分配权重。

给定 prompt x，n 个 rollout 构成一组 m 个不重复答案 a，每个答案 aj 对应的数量为 cj。每个 aj 被当做伪标签来计算加权损失：

$$\mathcal{L}_{\mathrm{GRPO}}(x ; \theta)=\sum_{j=1}^m w_j \cdot \mathcal{L}_{\mathrm{GRPO}}\left(x, a_j ; \theta\right) \tag{32}$$

权重 w 是频率 f 的单调函数 g：

$$w_j = \frac{g(f_j)}{\sum_{l=1}^{m} g(f_l)} \tag{33}$$

其中，fj = cj / n。g 是一个 k∈[0,1] 为中心、偏差为 σ>0 的高斯函数。加权的偏斜程度由 g 控制：函数 g 越陡峭，概率质量越集中在高频答案上；函数 g 越平滑，权重则在各答案间分布得更广。

Negative rollout penalization：反向 rollout 惩罚

不过，当多数票数量非常少时，Pass@n 往往表现下降，因为模型可能根本没有生成正确的 rollout。即没有答案可以被自信地信任。负向rollout 惩罚假设所有回答均为错误，并施加统一的负向偏移。

$$\begin{aligned} \tilde{r}_{i, j}=\left\{\begin{array}{ll} r_{i, j} & \text { if } M(x) \geq \kappa \\ 0 & \text { if } M(x) \lt \kappa \end{array}, \quad \tilde{A}_{i, j}= \begin{cases}A_{i, j} & \text { if } M(x) \geq \kappa \\ A_{i, j}-\delta & \text { if } M(x) \lt \kappa\end{cases}\right. \end{aligned} \tag{34}$$

其中，M(x) = max_j cj，也就是答案数量最多的对应的值。这个约束让满足 M(x)<κ 的模型预测仅产生负向更新，惩罚所有自一致性较低的 rollout。换句话说，至少有一个答案对应的 rollout 应该有 κ 个。

值得一提的是，这里还是要计算 reward 的，论文附录里的代码也显示需要一个 reward_fn，这和 TTRL 不一样，TTRL 可不需要这个，它是直接拿最多投票的结果作为答案，和这个答案相同的 reward=1，否则 reward=0。这就不是无监督了，除非让 reward=wj。这里写的不是很清楚，而且按整个基调来看，是不应该还需要真实 label 的。

Prompt-level weighting：提示词级别加权

因为有些 prompt 模型表现出高度不确定性，而有些 prompt 则生成高度一致的回答。所以，这里使用一个反映模型置信度的固定权重。为了防止虚假的反馈循环（例如训练过程中置信度膨胀），权重使用冻结的 ref 模型计算一次后保持不变。

$$u(x) = g(\frac{c_{ref}}{n}) \tag{35}$$

从 ref 中采样 n 个 rollout，和上面一样，c 是数量。注意这个权重是提前离线计算好的，训练期间保持不变。

最终损失为：

小结

本文梳理了近期关于无验证/无监督 RL 的一些思路，自从 TTRL 打开这扇门后，相关研究层出不穷，这最大的原因自然是针对那些更加常见的没有标准答案的任务。针对此类任务，《Reward建模新范式：无验证器RL与Reference的妙用 | 长琴^[20]》其实还是有 RM 建模的，或者说有一个隐式的验证器，而本文介绍的方法并没有，顶多借助外部模型（比如多样性、相似度计算）拿到计算 reward 的某个指标，而不是直接验证结果或答案是否合理、正确。所以，我将其统称为 Verify-Free RL。

既然说到这里了，顺便说一下《Reward建模新范式：无验证器RL与Reference的妙用 | 长琴^[20]》中介绍的「基于准则」的方法。我虽然没有尝试过直接让模型连续输出结果+评估，但尝试了先输出结果，再加一轮评估指标并让模型跟着输出评估结果。不出所料，相当严重的 reward hack，模型很快就学会了捷径，输出的内容不咋地，评估都是满分。我脑袋一拍盲猜啊，“让模型连续输出结果+评估” 也大概率会遇到同样的问题。那怎么办呢？说来也巧，正好前段时间发布的 DeepSeekMath-V2^[21] 给出了答案——自我验证！Reward 模型对验证结果再验证，简单来说，就是 “评估+评估再评估”，范式就又回到了熟悉的领域。

不过总的来看，无验证的 RL 还是要依赖 LLM 本身的能力，前段时间有《Does Reinforcement Learning Really Incentivize Reasoning Capacity in LLMs Beyond the Base Model?^[22]》说 RL 并未激发出全新的推理模式，但同时也有不同结论的其他研究，比如《RL Grokking Recipe: How Does RL Unlock and Transfer New Algorithms in LLMs?^[23]》，看来这里面还大有玄机，而且它本身就是底层基础，重要性毋庸置疑，我们择文再议。

附录

附录A：logits优化理论支持

证明：在高不确定性情况下 logit 优化可能会改变非顶部 logits 的顺序，但不会改变 logits 最大的 token，只会让其概率进一步增加。

有概率分布 p(z) = softmax(z)，熵 H = -∑pᵢ log pᵢ，所谓 logit optimization 就是在推理时做：

$$y_i = z_i + \eta \frac{\partial H}{\partial z_i} \tag{A.1}$$

后面的导数可以展开：

$$\begin{aligned} \frac{\partial H}{\partial z_i} &= \sum_j \frac{\partial H}{\partial p_j} \frac{\partial p_j}{\partial z_i} \\ &= - \sum_j (1 + \log p_j) \cdot p_j(\delta_{i,j} - p_i) \\ &= - (1 + \log p_i)p_i(1 - p_i) - \sum_{j \neq i} (1 + \log p_j) p_j(-p_i) \\ &= - (1 + \log p_i)p_i(1 - p_i) + p_i \sum_{j \neq i} (1 + \log p_j) p_j \\ &= - (1 + \log p_i)p_i(1 - p_i) + p_i \left[ \sum_j (1 + \log p_j) p_j - (1 + \log p_i)p_i \right] \\ &= - (1 + \log p_i)p_i(1 - p_i) + p_i \left[ \sum_j p_j \log p_j + \sum_j p_j - (1 + \log p_i)p_i \right] \\ &= - (1 + \log p_i)p_i(1 - p_i) + p_i \left[ -H + 1 - (1 + \log p_i)p_i \right] \\ &= - (1 + \log p_i)p_i+(1 + \log p_i)p_i^2-p_i H + p_i - (1 + \log p_i)p_i^2 \\ &= - (1 + \log p_i)p_i -p_i H + p_i \\ &= -p_i \log p_i - p_i H \\ &= -p_i (\log p_i + H) \end{aligned} \tag{A.2}$$

其中， δ 是 Kronecker delta 函数，当两个输入相同时输出为1，相同时输出为0。pj 对 zi 求导就是 softmax 的导数，这里不展开了。因为损失函数是负熵，因此实际更新为：

$$y_i = z_i + \eta p_i(\log p_i +H) \tag{A.3}$$

考虑如下等式：

$$\begin{aligned} y_a - y_b &= z_a - z_b + \eta (g_a - g_b) \\ \quad g_i &= p_i (\log p_i + H) \end{aligned} \tag{A.4}$$

可以证明，存在某些 z 以及两个索引 a, b，使得 za < zb，但 ga > gb。

利用中值定理，存在 c ∈ (pa, pb)，使得：

$$g_a - g_b = (p_a - p_b)(\log c + H + 1) \tag{A.5}$$

logc +H +1 是 g 对 p 在 c 处的导数。因为是非顶部 logits，我们可以认为 pa, pb（za < zb，所以pa < pb）都很小，且它们差不多大。

$$c \lt p_b \lt e^{-(H+1)} \Rightarrow \log c \lt -(H + 1) \Rightarrow \log c + H + 1 \lt 0 \Rightarrow g_a - g_b \gt 0 \tag{A.6}$$

所以，我们可以设任意大 η，使得，

$$z_a − z_b + \eta(g_a − g_b) \gt 0 \tag{A.7}$$

说明：在高熵（H大）且两个概率接近（pa≈pb）的情况下，熵梯度可以导致 logits 顺序被改变！

接下来继续证明，b 不能是 arg max z_i，即不能是最大 logit。这是为了说明，熵梯度不会“削弱”最大的那个 logit ，它只会强化 top token 或调整下面的 token。

设 j=arg max_i z_i，即当前最大 logit 的索引，根据熵的性质有，

$$\begin{aligned} H(p) &= \sum_i p_i (-\log p_i) \ge \sum_i p_i (-\log p_j) \\ &= -\log p_j \sum_i p_i \\ &= -\log p_j \Rightarrow p_j \ge e^{-H} \ge e^{-(H+1)} \end{aligned} \tag{A.8}$$

因为 softmax 单调，pj 就是最大的概率。

考虑 g(pi) = pi(log pi + H)，即式（A.4），导数 g′(pi) = log pi + H + 1。当 g′(pi) > 0时，g(pi) 单调递增。

$$g^{\prime}\left(p_i\right) \gt 0 = \log p_i + H + 1 \gt 0 \Leftrightarrow p_i \ge e^{-(H+1)} \tag{A.9}$$

这就是说，对于高概率 token（如 top token pj），它的 gj 是很大的正值，会被进一步提升（因为梯度指向增加）。相反，对于低概率 token（pi很小），它的 gi 可能是负数，可能会被压低。

如果 j 是最大概率的索引，那就意味着，任何概率更低的索引 i 都不可能满足 gi > gj，因此，对于 b ≠ j 有，

$$\begin{aligned} 0 \lt g_a \le g_b \quad p_a \in (e^{-H}, p_b] \\ g_a \lt 0 \lt g_b \quad p_a \in (0, e^{-H}) \end{aligned} \tag{A.10}$$

在高概率区间（上面的式子），ga 为正且随概率增大而增大；在低概率区间，ga 为负，而其他类别 g 为正，说明低概率类别会被下拉。

注意，这里是 H 而不是 H+1，是因为我们在判断 g 的正负性而非单调性，

$$g(p) = p(\log p + H) = 0 \rightarrow \log p + H = 0 \rightarrow p = e^{-H} \tag{A.11}$$

说明：logit 优化会让高概率 token 概率进一步增加，也不会改变 logit 最大的那个 token。

附录B：softmax 导数

给定 softmax 函数：

$$y_i = \sigma\left(z_i\right)=\frac{e^{z_i}}{\sum_{k=1}^n e^{z_k}} \tag{B.1}$$

要求 yi 对 zj 的导数，需要分 i=j 和 i≠j 两种情况。

i==j 时：

$$\frac{\partial y_i}{\partial z_i}=\frac{e^{z_i}\left(\sum_k e^{z_k}\right)-e^{z_i} \cdot e^{z_i}}{\left(\sum_k e^{z_k}\right)^2}=\frac{e^{z_i}\left(\sum_{k \neq i} e^{z_k}\right)}{\left(\sum_k e^{z_k}\right)^2} =y_i(1-y_i) \tag{B.2}$$

i≠j 时：

$$\frac{\partial y_i}{\partial z_j}=\frac{0\left(\sum_k e^{z_k}\right)-e^{z_i} \cdot e^{z_j}}{\left(\sum_k e^{z_k}\right)^2}=\frac{-e^{z_i} e^{z_j}}{\left(\sum_k e^{z_k}\right)^2} =-y_i y_j \tag{B.3}$$

合并用雅可比矩阵表示：

$$J_{i j}= \begin{cases}y_i\left(1-y_i\right), & i=j \\ -y_i y_j, & i \neq j\end{cases} \tag{B.4}$$

即，

$$J_{i j}= \frac{\partial y_i}{\partial z_j} = y_i(\delta_{ij} - y_j) \tag{B.5}$$

δ 为 Kronecker delta（y==y’ 为 1，否则为 0）。用向量形式表示：

$$\mathbf{J}=\operatorname{diag}(\mathbf{y})-\mathbf{y} \mathbf{y}^T \tag{B.6}$$

diag(y) 是一个对角矩阵，主对角线上是 y1, y2……，y y^T 是外积。

另外，还有个常见的导数（log softmax），对某个固定类别 c，

$$\begin{aligned} \frac{\partial \log y_c}{\partial z_{j}} = \delta_{cj} - y_j \end{aligned} \tag{B.7}$$

可以直接展开求导得到，也可以在前面 J 的基础上乘 1/y 得到。

附录C：KL散度

D_KL(P||Q) 衡量的是当我们使用一个近似分布 Q 而不是真实分布 P 时，所造成的信息损失的期望值。

$$\mathbf{D}_{\mathrm{KL}}(P \parallel Q) = \mathbb{E}_{x \sim P} \left[ \log \frac{P(x)}{Q(x)} \right] \tag{C.1}$$

对于离散变量，展开为：

$$\mathbf{D}_{\mathrm{KL}}(P \parallel Q) = \sum_{x \in \mathcal{X}} P(x) \log \frac{P(x)}{Q(x)} \tag{C.2}$$

对于连续变量，则为积分形式：

$$\mathbf{D}_{\mathrm{KL}}(P \parallel Q) = \int_{-\infty}^{\infty} p(x) \log \frac{p(x)}{q(x)} \, dx \tag{C.3}$$

分解公式可得：

$$\mathbf{D}_{\mathrm{KL}}(P \parallel Q) = \mathbb{E}_{x \sim P} \left[ \log P(x) \right] - \mathbb{E}_{x \sim P} \left[ \log Q(x) \right] \tag{C.4}$$

第一项是熵，表示对来自 P 的样本进行编码所需的最小平均比特数（信息量）。第二项是 P 和 Q 的交叉熵，表示使用基于 Q 的最优编码对来自 P 的样本进行编码时所需的平均比特数（信息量）。

$$\mathbf{D}_{\mathrm{KL}}(P \parallel Q) =- H(P) - (- H(P, Q) ) = H(P, Q) - H(P) \tag{C.5}$$

即，

$$\text{KL 散度} = (\text{使用 } Q \text{ 编码 } P \text{ 的平均长度}) - (\text{使用 } P \text{ 编码 } P \text{ 的最小平均长度}) \tag{C.6}$$

它准确地衡量了由于使用近似分布 Q 而产生的额外编码成本或信息损失的期望值。

附录D：自然梯度

这部分来自 GPT 和 Gemini 的结果整理。

自然策略梯度（Natural Policy Gradient, NPG）是强化学习中对普通策略梯度的一种改进，它通过引入“策略空间的几何结构（Fisher 信息矩阵）”来进行更合理、更稳定的梯度更新。

$$\theta \leftarrow \theta+\eta \nabla_\theta J(\theta) \tag{D.1}$$

如上式，标准策略梯度更新有一个隐含问题：θ 空间是欧式空间。但策略 πθ 不是，两个参数向量 θ1 和 θ2 的欧氏距离并不能正确反映策略 πθ1 与 πθ2 的“距离”。比如，在 softmax 策略中，即使参数变化很小，策略可能变化很剧烈；或者参数变化很大，但 softmax 输出的策略几乎不变。因此，标准策略梯度会出现更新步长不稳定、在策略空间里偏离最优路径、学习效率低等问题。

NPG 使用黎曼几何中的 Fisher 信息矩阵作为度量，来“规范化”梯度。将更新方向投影到“概率分布空间的自然几何结构”中，梯度方向为使用 Fisher 逆矩阵调整后的方向。如下式所示，

$$\theta \leftarrow \theta+\eta F(\theta)^{-1} \nabla_\theta J(\theta) \tag{D.2}$$

其中，F 就是 Fisher 信息矩阵，定义了策略的“自然度量”，表示哪些方向上策略对参数特别敏感（需要减小步长），而哪些方向上策略变化小（可以加大步长）。它是策略分布关于参数的二阶导数（Hessian 矩阵）的负期望的近似，用于度量参数空间中KL 散度（策略差异）的变化率。

$$F(\theta)=\mathbb{E}_{\pi_\theta}\left[\nabla_\theta \log \pi_\theta(a \mid s) \nabla_\theta \log \pi_\theta(a \mid s)^{\top}\right] \tag{D.3}$$

它们关系如下：

$$\mathbf{D}_{\mathrm{KL}}\left(P_\theta \| P_{\theta+\Delta \theta}\right) \approx \frac{1}{2}(\Delta \theta)^{\top} \mathbf{F}(\theta) \Delta \theta \tag{D.4}$$

假设由 θ 定义的概率分布 P(θ)（在自然策略梯度中，这通常是策略 π），我们想知道当参数从 θ 微小变化到 θ+Δθ 时，两个策略之间的 KL 散度变化了多少。可以对 D_KL 在 Δθ=0 处进行二阶泰勒展开：

$$\mathbf{D}_{\mathrm{KL}}\left(P_\theta \| P_{\theta+\Delta \theta}\right) \approx \text{一阶项} + \frac{1}{2}(\Delta \theta)^{\top} \mathbf{H}(\theta) \Delta \theta \tag{D.5}$$

有如下几个性质：

• 零阶项为零。Δθ=0 时，D_KL=0。
• 一阶项为零。两个相同分布之间的 KL 散度梯度（关于第二个参数）在参数相同时为零。即 ▽_θ' D_KL(Pθ || Pθ')|θ'=θ = 0。
• 二阶项是关键。Δθ→0时，KL 散度的二阶导数（Hessian 矩阵）恰好等于 Fisher 信息矩阵。

总之，在一个普通的欧几里得空间，两点距离是欧几里得距离；在一个由概率分布参数化形成的策略空间，两点之间的实际距离（KL 散度）由 Fish 信息矩阵定义。

为什么它更自然？这里的“自然”指的是梯度方向与策略空间中的 KL 对齐，KL 衡量了新旧策略之间的信息损失。自然梯度保证了在每次更新时，参数的变化使得策略迈出的步长在策略空间（而不是参数空间）中保持不变。

References

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[11] Reward Model建模 | 长琴: https://yam.gift/2025/06/09/NLP/LLM-Training/2025-06-09-RM-Modeling/
[12] Scalable Best-of-N Selection for Large Language Models via Self-Certainty: https://arxiv.org/abs/2502.18581
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[20] Reward建模新范式：无验证器RL与Reference的妙用 | 长琴: https://yam.gift/2025/11/11/NLP/LLM-Training/2025-11-11-RM-New-Paradigm-Verifier-Free-RL/
[21] DeepSeekMath-V2: https://yam.gift/2025/11/29/NLP/LLM-Training/2025-11-29-Reward-Data-Self-Verified/
[22] Does Reinforcement Learning Really Incentivize Reasoning Capacity in LLMs Beyond the Base Model?: https://arxiv.org/abs/2504.13837
[23] RL Grokking Recipe: How Does RL Unlock and Transfer New Algorithms in LLMs?: https://arxiv.org/abs/2509.21016

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